Question

【题目】已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（﹣x）=f（x）即有

（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c解得b=0

又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1

∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a从而g′（x）=3x2+2ax+1，

∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．

此时有△=4a2﹣12≥0解得

a∈（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）所以实数a的取值范围：a∈（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

（2）解：因x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，解得a=2

又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=﹣1，x2=

当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数

当 时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣ ）上为减函数

当x∈（﹣ ）时，g′（x）＞0，故g（x）在 上为增函数

【解析】（1）据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）求出b值，将点（2，5）代入得c值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，

有g′（x）=0有实数解，由△≥0得范围．（2），函数在极值点处的导数值为0，导数大于0对应区间是单调递增区间；导数小于0对应区间是单调递减区间．

【考点精析】解答此题的关键在于理解导数的几何意义的相关知识，掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．