Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2）．
（1）求a₁+a₂+a₃；
（2）令b_n=a_n+

1

3

，求证数列{b_n}是等比数列；
（3）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用递推思想分别求出a₁=

1

2

，a₂=3，a₃=9，由此能求出a₁+a₂+a₃的值．
（2）由已知条件推导出a_n+

1

3

=4a_n-1+1+

1

3

=4（a_n-1+

1

3

），由此能证明数列{b_n}是等比数列．
（3）利用等比数列前n项和公式，能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2），
∴a₂=4a₁+1=4×

1

2

+1=3，
a₃=4×3+1=13，
∴a₁+a₂+a₃=

1

2

+3+13=

33

2

．
（2）∵a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+

1

3

=4a_n-1+1+

1

3

=4（a_n-1+

1

3

），
∴

an+ 1 3

an-1+ 1 3

=4，a1+

1

3

=

1

2

+

1

3

=

5

6

，
∵b_n=a_n+

1

3

，∴数列{b_n}是首项为

5

6

，公比为4的等比数列．
（3）∵数列{b_n}是首项为

5

6

，公比为4的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=

5 6 (1-4n)

1-4

=

5

18

(4n-1)．

点评：本题考查数列的前3项和的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．