Question

已知等比数列{a_n}满足a₁=1，0＜q＜

1

2

，且对任意正整数k，a_k-（a_k+1+a_k+2）仍是该数列中的某一项，则公比q为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件知an=qn-1，a_k-（a_k+1+a_k+2）=q^k-1（1-q-q²），从而得到1-q-q²=q，由此能求出q=

2

-1．

解答： 解：∵等比数列{a_n}满足a₁=1，0＜q＜

1

2

，
且对任意正整数k，a_k-（a_k+1+a_k+2）仍是该数列中的某一项，
∴an=qn-1，
a_k-（a_k+1+a_k+2）=q^k-1-（q^k+q^k+1）
=q^k-1（1-q-q²）．
∵a_n都是q的几次方的形式，
∴1-q-q²应该也是q的几次方的形式，
∵0＜q＜

1

2

，∴

1

4

＜1-q-q²＜1，
∴1-q-q²只有可能等于q，
由1-q-q²=q，得q²+2q-1=0，
解得q=

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．