Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值以及对应的x．
（2）求它单调增区间．
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据f（x）的解析式可得，当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z时，函数f（x）取得最小值为-1+

3

2

，从而得出结论．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，∴当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，即x=kπ-

π

3

时，函数f（x）取得最小值为-1+

3

2

=

1

2

．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（3）把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位可得函数y=sin（x+

π

6

）的图象，
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+

π

6

）的图象，
再把所得图象向上平移

3

2

个单位，可得函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的图象．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于基础题．