Question

已知f（x）=2cos

x

2

（

3

sin

x

2

+cos

x

2

）-1，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值；
（Ⅱ）设α∈（0，

π

2

），β∈（

π

3

，

π

2

），f（α）=2，f（β）=

8

5

，求f（α+β）的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据第一问确定出的f（x）解析式，由f（α）=2，f（β）=

8

5

分别求出α的度数，sin（β+

π

6

）以及cos（β+

π

6

）的值，所求式子变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+2cos²

x

2

-1=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∴f（

π

3

）=2；
（2）∵f（α）=2sin（α+

π

6

）=2，
即sin（α+

π

6

）=1，
∵

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
∴α+

π

6

=

π

2

，
即α=

π

3

，
∵f（β）=2sin（β+

π

6

）=

8

5

，
即sin（β+

π

6

）=

4

5

＜

3

2

，
∴

π

6

＜β+

π

6

＜

π

2

，cos（β+

π

6

）=

3

5

，
则f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2sin（

π

2

+β）=2cosβ=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]
=2cos（β+

π

6

）cos

π

6

+2sin（β+

π

6

）sin

π

6

=

3 3 +4

5

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．