【题目】在如图所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,底面ABFE为直角梯形,∠ABF为直角, , 平面ABCD⊥平面ABFE.
(1)求证:DB⊥EC;
(2)若AE=AB,求二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵底面ABFE为直角梯形,AE∥BF,∠EAB=90°,
∴AE⊥AB,BF⊥AB,
∵平面ABCD⊥平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,
∴AE⊥平面ABCD.BF⊥平面ABCD,∴BF⊥BC,
设AE=t,以BA,BF,BC所在的直线分别为x,y,z轴建立如图坐标系,
则B(0,0,0),C(0,0,1),D(1,0,1),E(1,t,0)
∵ =0,∴DB⊥EC
(2)解:由(1)知 是平面BEF的一个法向量,
设 =(x,y,z)是平面CEF的一个法向量,
AE=AB=1,E(1,1,0),F(0,2,0),
∴ =(1,1,﹣1), =(0,2,﹣1),
则 ,取z=2, =(1,1,2),
∴cos< >= = ,
即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)推导出AE⊥AB,BF⊥AB,从而BF⊥BC,设AE=t,以BA,BF,BC所在的直线分别为x,y,z轴坐标系,利用向量法能证明DB⊥EC.(2)求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量,利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
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【题目】已知等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求;
(3)是否存在正整数,使得仍为数列中的项,若存在,求出所有满足的正整数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD,线段MN是球O的一条动直径(M,N是直径的两端点),点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点,则 的取值范围是 .
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=anbn , 设数列{cn}的前n项和为Tn , 求Tn .
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,2),点M的极坐标为 ,若直线l过点P,且倾斜角为 ,圆C以M为圆心,3为半径.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA||PB|.
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【题目】a、b、c是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a平面α,b平面β,则a,b一定是异面直线;
⑤若a,b与c成等角,则a∥b.
上述命题中正确的是________.(填序号)
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【题目】
已知等差数列, .
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求;
(3)是否存在正整数,使得仍为数列中的项,若存在,求出所有满足的正整数的值;若不存在,说明理由.
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