Question

已知光线从A（-2，1）发出，经x轴反射与圆O₁：（x-3）²+（y-4）²=5相切，求入射光线和反射光线所在的直线方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：求出A关于x轴的对称点坐标，设出反射光线方程利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解反射光线所在的直线方程．对称圆的方程类似，可以求解入射光线所在的直线方程．

解答： 解：圆O₁：（x-3）²+（y-4）²=5，关于x轴的对称圆的方程是（x-3）²+（y+4）²=5，
设入射光线L所在直线的方程是：y-1=k（x+2）（其中斜率k待定）
由题设知对称圆的圆心C′（3，-4）到这条直线的距离等于

5

，
即

|5k+5|

1+k2

=

5

．整理得：2k²+5k+2=0，
解得：k=-

1

2

，或k=-2．
故所求的入射光线所在的直线方程是y-1=-

1

2

（x+2），或y-1=-2（x+2），
即x+2y=0，或2x+y+3=0．
A关于x轴的对称点（-2，-1），
设反射光线L所在直线的方程是：y+1=k（x+2）（其中斜率k待定），
由题设知圆O₁的圆心C（3，4）到这条直线的距离等于

5

，
即

|5k-5|

1+k2

=

5

．整理得：2k²-5k+2=0，
解得：k=

1

2

，或k=2．
故所求的反射光线所在的直线方程是y-1=

1

2

（x+2），或y-1=2（x+2），
即x-2y+4=0，或2x-y+5=0．

点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．