Question

数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：{

1

an-1

}为等差数列，并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an

-1，数列{b_n}的前n项和为B_n，对任意n≥2都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求整数m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，由此能证明{

1

an-1

}为等差数列，并能求出{a_n}的通项公式．
（2）b_n=

1

an

-1=

n+1

n

-1=

1

n

，令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，从而得到{C_n}为单调递增数列，由此能求出整数m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），
∴

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，
∵

1

a1-1

=

1

1 2 -1

=-2，
∴{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列，
∴

1

an-1

=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1)，
∴an=

n

n+1

．
（2）b_n=

1

an

-1=

n+1

n

-1=

1

n

，
令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
∴C_n+1-C_n=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3(n+1)

-

1

n+1

-…-

1

3n

=-

1

n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

+

1

3n+1

=

1

3n+2

-

2

3n+3

+

1

3n+1

＞

2

3n+3

-

2

3n+3

=0，
∴C_n+1-C_n＞0，
∴{C_n}为单调递增数列，
∴（B_3n-B_n）_min=B₆-B₂=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

，
∴m＜19，
又m∈N^*，
∴m的最大值为18．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．