Question

如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？

(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．

 

 

Answer 1

（1）在(2，)或(8，＋∞)内

（2）AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.

【解析】【解析】
(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.

∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，

∴S＝ (y>2)．

由>32，得2<y<，或y>8，

∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内．

(2)当y>2时，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，

当且仅当y－2＝，

即y＝4时，等号成立，解得x＝6.

∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.