Question

15．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，6），如表所示：

试销单价x（元）	4	5	6	7	8	9
产品销量y（件）	q	84	83	80	75	68

已知$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{y}_{i}$=80
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\overrightarrow{a}$
（Ⅲ）用$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$表示用正确的线性回归方程得到的与x_i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x_i，y_i）的残差的绝对值|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-y_i|≤1时，则将销售数据（x_i，y_i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{y}_{i}$=80，可求出q的值；
（Ⅱ）求出回归系数，可得线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\overrightarrow{a}$；
（Ⅲ）确定基本事件的个数，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{y}_{i}$=80，求得q=90．
（Ⅱ）$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{3050-6×6.5×80}{271-253.5}$=-4，$\stackrel{∧}{a}$=80+4×6.5=106，
所以所求的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-4x+106．
（Ⅲ）当x₁=4时，y₁=90；当x₂=5时，y₂=9086；当x₃=6时，y₃=82；当x₄=7时，y₄=78；当x₅=8时，y₅=74；当x₆=9时，y₆=70．
与销售数据对比可知满足|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-y_i|≤1（i=1，2，…，6）的共有3个“好数据”：（4，90）、（6，8.3）、（8，7.5）．
从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有$\frac{6×5}{2}$=15种，
其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有3×3+3=12种，
于是从抽得2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过80的概率为$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线性回归方程，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．