Question

7．棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点，则点D₁到直线AE的距离是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在底面ABCD上，作DF⊥AE于F，连接D₁F，证明AC⊥平面DD₁F，然后求解D₁F即可．

解答 解：在底面ABCD上，作DF⊥AE于F，连接D₁F，
因为几何体是正方体，所以DD₁⊥平面ABCD，可知DD₁⊥AE，又DD1∩DF=D，可得：AC⊥平面DD₁F，
所以D₁F⊥AE，D₁F就是点D₁到直线AE的距离．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，AD₁=2$\sqrt{2}$，
E是棱BC的中点，AE=$\sqrt{5}$，
sin∠DAE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，DF=ADsin∠DAE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在△DD₁F中，D₁F=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{16}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，考查计算能力．