Question

17．已知在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosB=$\frac{1}{3}$．
（1）求边c的值；
（2）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可得出．
（2）利用同角三角函数基本关系式、正弦定理可得sinA，cosA，再利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即3c²-4c-15=0，c＞0，
解得c=3．
（2）由b=c=3，可知cosC=$\frac{1}{3}$．
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
由正弦定理得sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
又a＜c，∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{7}{9}$．
∴cos（A-C）=$\frac{7}{9}×\frac{1}{3}$+$\frac{4\sqrt{2}}{9}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$
=$\frac{23}{27}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．