Question

11．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{2}{3}}}$（x²-2x-3），给定区间E，对任意x₁，x₂∈E，当x₁＜x₂时，总有f（x₁）＜f（x₂），则下列区间可作为E的是（　　）

• A． （-3，-1）
• B． （-1，0）
• C． （1，2）
• D． （3，6）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断方法求出函数f（x）的减区间，由题意知区间E为f（x）减区间的子集，据此可得答案．

解答 解：给定区间E，对任意x₁，x₂∈E，当x₁＜x₂时，总有f（x₁）＜f（x₂），函数是增函数．
由x²-2x-3＞0解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
因为y=$lo{g}_{\frac{2}{3}}x$递减函数，而t=x²-2x-3在（-∞，-1）上递减，在（3，+∞）上递增，
所以函数f（x）的减区间为（-∞，-1），增区间为（3，+∞），
由题意知，函数f（x）在区间E上单调递增，则E⊆（-∞，-1），
而（-3，-1）⊆（-∞，-1），
故选：A．

点评 本题考查复合函数单调性，判断复合函数单调性的方法是：“同增异减”，解决本题的关键是准确理解区间E的意义．