Question

8．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=-ax+b．
（I）讨论函数h（x）=f（x）-g（x）单调区间；
（II）若直线g（x）=-ax+b是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$图象的切线，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得h（x）的解析式和导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）设切点（m，lnm-$\frac{1}{m}$），求得切线的方程，对照已知直线y=g（x），可得a，b的式子，令-a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，t＞0，求得导数和单调区间，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$+ax-b（x＞0），
则h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令y=ax²+x+1                     …（2分）
（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
（2）当a＞0时，△=1-4a，
若△≤0，即a≥$\frac{1}{4}$时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
△＞0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$，由ax²+x+1=0，得x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）当a＜0时，△=1-4a＞1，
由ax²+x+1=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
所以函数f（x）在（0，$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）上单调递增； 在（$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）上递减          …（5分）
综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）； 
当a＜0时，函数f（x）在（0，$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）上单调递增； 在（$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）上递减．…（6分）（Ⅱ）设切点（m，lnm-$\frac{1}{m}$），
则切线方程为y-（lnm-$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）（x-m），
即y=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）x-（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）m+lnm-$\frac{1}{m}$，
亦即y=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）x+lnm-$\frac{2}{m}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，由题意得-a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$=t+t²，b=lnm-$\frac{2}{m}$-1=-lnt-2t-1，…（8分）
令-a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
则φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴b-a=φ（t）≥φ（1）=-1，
故b-a的最小值为-1．               …（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．