Question

18．已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（m，1），C（4，5），
（1）若m=5，求cos2A；
（2）若∠ABC为直角，求实数m的取值．

Answer 1

分析 （1）若m=5，求出三角形的边长，利用余弦定理求出cosA，即可求cos2A；
（2）若∠ABC为直角，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=0，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）若m=5，则B（5，1），
则|AB|=5-1=4，|AC|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，|BC|=$\sqrt{1+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
则cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-17}{2×4×5}$=$\frac{3}{5}$，
则cos2A=2cos²A-1=2×（$\frac{3}{5}$）²-1=-$\frac{7}{25}$；
（2）若∠ABC为直角，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=0，
即（m-1，0）•（4-m，4）=0，
即（m-1）•（4-m）=0，
解得m=1（舍）或m=4．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理求出cosA，以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键．