Question

11．已知双曲线Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x-a）²+y²=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离推出ab关系式，然后求解离心率即可．

解答 解：如图．依题意，在△RtACB中，BC=AC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=4，又$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O为坐标原点），∴OB=5
在△OCB中，由余弦定理得a=OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}-2BC•OBcos4{5}^{0}}=\sqrt{13}$．
因为点C（a，0）到渐进线y=$\frac{b}{a}x$的距离为2，即$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=2$．
解得b=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，即得e²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{9}$，∴双曲线Γ的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故选：A

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．