Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过区域D

x≥0 y≥0 x+ 2 y≤ 2

的两个顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）设过定点M（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，在y轴上是否存在定点E使

AE

•

BE

为定值？若存在，求出E点坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定区域的顶点坐标，即可求椭圆C的标准方程；
（2）利用向量的数量积公式，即可求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）设动直线l的方程y=kx+2，代入椭圆方程可得（1+2k²）x+8kx+6=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出在y轴上存在定点E使

AE

•

BE

为定值．

解答： 解：（1）区域D

x≥0 y≥0 x+ 2 y≤ 2

的顶点为（0，0），（

2

，0），（0，1），
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过区域D

x≥0 y≥0 x+ 2 y≤ 2

的两个顶点，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设P（x₀，y₀），则

PF1

•

PF2

=（-1-x₀，-y₀）•（1-x₀，-y₀）=

1

2

x₀²，
∵x₀²∈[0，2]，
∴

PF1

•

PF2

的最大值为1，最小值为0；
（3）设过定点M（0，2）且斜率为k的直线l的方程为y=kx+2，
代入椭圆方程可得（1+2k²）x+8kx+6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=-

8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=-

2k2-4

2k2+1

，y₁+y₂=

5

2k2+1

，
设E（0，m），则

AE

•

BE

=（-x₁，m-y₁）•（-x₂，m-y₂）=

(2m2-2)k2+m2-4m+10

2k2+1

，
若

AE

•

BE

=t，则

(2m2-2)k2+m2-4m+10

2k2+1

=t，
∴（2m²-2-2t）k²+m²-4m+10-t=0，
∴2m²-2-2t=0，m²-4m+10-t=0，
∴m=

11

4

，t=

105

16

，
∴存在E（0，

11

4

），使

AE

•

BE

为

105

16

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．