Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

Answer 1

（I）设圆心的坐标为，半径为

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切

 ………………………………………2分

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹： …………………………………………………………4分

（II）设，直线，则直线

由可得：，

 ……………………………6分

由可得：

………………………………8分

和的比值为一个常数，这个常数为……………………………………9分

（III），的面积的面积，

到直线的距离

 …………………………11分

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）

当时，取最大值……………………………………………………13分