Question

11．下列说法：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[-1，a]）是偶函数，则实数b=-2；
②f（x）=$\sqrt{2016-{x^2}}$+$\sqrt{{x^2}-2016}$既是奇函数又是偶函数；
③若f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则f（2015）=2；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），则f（x）是奇函数．其中所有正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 逐项判断正误即可求解．①由函数奇偶性可得定义域关于原点对称，得a，由对称轴为y轴可得b；②先求定义域，可得f（x）=0，易得结果；③由题意可得函数为周期函数，易得③错误；④利用赋值法，可得f（-x）=-f（x），故④正确．

解答 解：①由函数在区间[-1，a]上为偶函数可得：a=1，所以f（x）=x²+（2+b）x+2，
因为函数为偶函数，所以对称轴$x=-\frac{2+b}{2}=0$，故b=-2，故①正确；
②易知函数的定义域为$\{-12\sqrt{14}，12\sqrt{14}\}$，此时f（x）=0，既是奇函数，也是偶函数，故②正确；
③由$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，可得$f（x+4）=f（x+2+2）=\frac{1}{f（x+2）}=f（x）$，故函数为周期为4的周期函数，所以f（2015）=f（3），
又f（3）=f（1+2）=$\frac{1}{f（1）}$=$\frac{1}{2}$，即$f（2015）=\frac{1}{2}$，故③错误；
④令x=y=1，可得：f（1）=0，令x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1），故f（-1）=0，
令y=-1可得：f（-x）=xf（-1）-f（x）=-f（x），
故函数为奇函数，所以④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查函数性质．正确判断函数性质，掌握判断方法是解题关键．属于中档题．