Question

已知函数f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，求实数a的取值范围；
(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1) 增区间为(1,2)，减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)． (2) (－1,8)； (3) (2，＋∞)．

解析试题分析：(1)当a＝3时，f(x)＝－x³＋x²－2x，得f′(x)＝－x²＋3x－2.
因为f′(x)＝－x²＋3x－2＝－(x－1)(x－2)，
所以当1<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x<1或x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．
(2)方法一：由f(x)＝－x³＋x²－2x，得f′(x)＝－x²＋ax－2.
因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，
即对于任意x∈[1，＋∞)都有－x²＋ax－2<2(a－1)成立，即对于任意x∈[1，＋∞)都有x²－ax＋2a>0成立．
令h(x)＝x²－ax＋2a，
要使h(x)对任意x∈[1，＋∞)都有h(x)>0成立，必须满足Δ<0，或
即a²－8a<0或所以实数a的取值范围为(－1,8)．
方法二：由f(x)＝－x³＋x²－2x，得f′(x)＝－x²＋ax－2.
因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，即对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)_max<2(a－1)．
因为f′(x)＝－²＋－2，其图象开口向下，对称轴为x＝.
①当<1，即a<2时，f′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)_max＝f′(1)＝a－3.
由a－3<2(a－1)，得a>－1，此时－1<a<2；
②当≥1，即a≥2时，f′(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f′(x)_max＝f′＝－2.由－2<2(a－1)，得0<a<8，此时2≤a<8.
综上①②可得，实数a的取值范围为(－1,8)．
(3)设点P是函数y＝f(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率为k＝f′(t)＝－t²＋at－2，所以过点P的切线方程为y＋t³－t²＋2t＝(－t²＋at－2)(x－t)．
因为点在切线上，所以－＋t³－t²＋2t＝(－t²＋at－2)(0－t)，即t³－at²＋＝0.
若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，则方程t³－at²＋＝0有三个不同的实数解．
令g(t)＝t³－at²＋，则函数y＝g(t)与t轴有三个不同的交点．
令g′(t)＝2t²－at＝0，解得t＝0或t＝
因为g(0)＝，g＝－a³＋，所以g＝－a³＋<0，即a>2.
所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．
考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；
点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。做本题时我们要注意在某点处的切线方程和过某点的切线方程的区别。