Question

4．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，通过证明四边形EFHG是平行四边形，证明FH∥平面EDB；
（Ⅱ）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求解；
（Ⅲ）求出四面体B-DEF的高与底面面积，即可求解四面体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，
由于H为BC的中点，故GH∥$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}AB$，
又EF$∥\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}AB$，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴FH∥平面EDB；
（Ⅱ）解：∵FH⊥平面ABCD，∴平面BFC⊥平面ABCD，
又AB⊥BC，∴AB⊥平面BFC，则AB⊥BF，则EF⊥FB，
又∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则
∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角，
∵EF=1，AB=2，∴FC=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{3}$，
又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，
∴sin∠EDC=sin∠KEF=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴FK=EFsin∠KEF=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
tan∠FKB=$\frac{BF}{FK}$=$\sqrt{3}$，
∴∠FKB=60°，
∴二面角B-DE-C为60°；
（Ⅲ）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
∴BF为四面体B-DEF的高，
又BC=AB=2，∴BF=FC=$\sqrt{2}$，S=$\frac{1}{2}$EF•FC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$，
四面体B-DEF的体积．V_B-DEF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，考查计算能力，是中档题．