Question

12．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，AM=3．
（1）求证：AC⊥BN；
（2）求证：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）连接BD，说明AC⊥BD，证明ND⊥AC，然后证明AC⊥平面NDB．利用直线与平面垂直的性质定理证明AC⊥BN．
（2）CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF．即可证明AN∥平面MEC．
（3）取线段BC的中点T，连结DT、NT，说明∠NTD即为二面角N-BC-D的平面角．转化为二面角N-BC-D的大小等于二面角M-BC-A的大小．在直角三角形△NDT中，求解二面角M-BC-A的大小即可．

解答 （本小题满分12分）
（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．
由已知DN⊥平面ABCD，
又∵AC?平面ABCD∴ND⊥AC
因为DN∩DB=D，
所以AC⊥平面NDB．
又因为BN?平面NDB，
所以AC⊥BN．…（4分）
（2）证明：CM与BN交于F，连接EF．
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，
所以F是BN的中点．
因为E是AB的中点，
所以AN∥EF．
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（8分）
（3）解：取线段BC的中点T，连结DT、NT，
∵△DBC为正三角形∴DT⊥BC
又∵MA⊥平面ABCD，ND∥AM∴ND⊥平面ABCD，

又∵BC?平面ABCD，∴ND⊥BC
再∵DT∩ND=D∴BC⊥平面NDT
又∵NT?平面NDT∴NT⊥BC．
因而∠NTD即为二面角N-BC-D的平面角．
又∵MN∥平面ABCD，∴二面角N-BC-D的大小等于二面角M-BC-A的大小．
在正三角形△DBC中，AD=2，所以$DT=\sqrt{3}$．
在直角三角形△NDT中，ND=3，所以$tan∠NTD=\frac{3}{{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$．
∴二面角M-BC-A的大小为60°．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．