Question

【题目】如图，的三条内线段、、交于点、用红、蓝两种颜色对的三条边线和三条内线段染色，使同色的三线不交于一点.证明：在图中所有的三角形中，至少存在两个同色三角形，且它的各边或延长线被另一线截得的两线段之比的和大于3.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

根据抽屉原理，在三条边线和二条线这6条线中，至少有3条是同色的，设共为红色.则红线的条数为5，4或3.

（1）若有5条红线，则必有3条红线交于一点，不合题意.

（2）若有4条红线，可分两类：

（i）如果3条是边线.1条是内线或1条边线、3条内线时，则都存在3条红线交于一点，不合题意.

（ii）如果边线和内线各有两条时，不妨没边线为、，则内线只能是、.这时、都是红色三角形，它们分别被直线、所截.

若被直线所截.由梅氏定理.有.

由均值不等式，得.

因为下成立，所以上式等号不能成立.

故.

（3）若有3条红线，可分三类：

（i）如果3条都为边线或都为内线时，显然都不符合题意.

（ii）如果两条为边线，1条为内线时，设边线为、，则内线必为或.不妨设为.此时为红色三角形，为蓝色三角形，结论成立.

（iii）如果1条为边线，两条为内线时，相当于两条边线为蓝线.1条内线为蓝线，由（ii）知，结论成立.

综合（1）、（2）、（3）知，命题成立.