Question

2．已知圆C的方程：x²+y²+2x+4y-3=0．
（1）若P（x，y）是圆C上一点，求表达式x+y的取值范围；
（2）若P（x，y）是圆C上一点，求（x-2）²+（y+1）²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=-1+2$\sqrt{2}$cosα，y=-2+2$\sqrt{2}$sinα，α∈[0，2π），由三角函数的性质能求出x+y的范围．
（2）（x-2）²+（y+1）²=（2$\sqrt{2}$cosα-3）²+（2$\sqrt{2}$sinα-1）²=14-12$\sqrt{2}$cosα-4$\sqrt{2}$sinα=14-8$\sqrt{5}$sin（α+θ），由此利用三角函数能求出（x-2）²+（y+1）²的取值范围．

解答 解：（1）圆C的方程：x²+y²+2x+4y-3=0，化为（x+1）²+（y+2）²=8上的动点，
∴令x=-1+2$\sqrt{2}$cosα，y=-2+2$\sqrt{2}$sinα，α∈[0，2π），
∴x+y=2$\sqrt{2}$sinα+2$\sqrt{2}$cosα-3=4sin（α+$\frac{π}{4}$）-3，
∴x+y的范围是[-7，1]．
（2）（x-2）²+（y+1）²=（2$\sqrt{2}$cosα-3）²+（2$\sqrt{2}$sinα-1）²=14-12$\sqrt{2}$cosα-4$\sqrt{2}$sinα
=14-8$\sqrt{5}$sin（α+θ），
∴（x-2）²+（y+1）²的取值范围是[14-8$\sqrt{5}$，14+8$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆的方程、三角函数、点到直线距离公式、等价转化思想的合理运用．