Question

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若BC边上的高等于$\frac{1}{4}a$，求cosA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，
（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出

解答 解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得，sinBcosC+sinBsinC=sinA．
因为A+B+C=π，
所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）．
即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．
因为sinC≠0，
所以sinB=cosB．
因为cosB≠0，所以tanB=1．
因为B∈（0，π），所以$B=\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则$AD=\frac{1}{4}a$．
因为$B=\frac{π}{4}$，则$BD=AD=\frac{1}{4}a$，$CD=\frac{3}{4}a$．
所以$AC=\sqrt{A{D^2}+D{C^2}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{4}a$，$AB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}a$．
由余弦定理得$cosA=\frac{{A{B^2}+A{C^2}-B{C^2}}}{2AB•AC}$=$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
所以cosA=$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．