Question

6．已知函数f（x）=A（sin$\frac{x}{2}$cosφ+cos$\frac{x}{2}$sinφ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是2，且f（0）=2．（1）求φ的值；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，若f（2A）=$\frac{6}{5}$，f（2B+π）=-$\frac{24}{13}$，求f（2C）．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=Asin（$\frac{x}{2}+$φ），由函数的最大值是2可求A，由f（0）=2sinφ=2，结合φ的范围可求φ的值．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（$\frac{x}{2}+$$\frac{π}{2}$），由f（2A）=2sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{6}{5}$，可得cosA，由f（2B+π）=-$\frac{24}{13}$，可得sinB，又角A，B，C都是锐角，可求sinA，cosB，从而由f（2C）=-2cos（A+B）=2sinAsinB-2cosAcosB即可求值．

解答 解：（1）∵f（x）=A（sin$\frac{x}{2}$cosφ+cos$\frac{x}{2}$sinφ）=Asin（$\frac{x}{2}+$φ）的最大值是2，A＞0，可得A=2，
∴f（0）=2sinφ=2，可得sinφ=1，φ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴由0＜φ＜π可解得：φ=$\frac{π}{2}$．
（2）∵由（1）可得：f（x）=2sin（$\frac{x}{2}+$$\frac{π}{2}$），
∴f（2A）=2sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{6}{5}$，可得：cosA=$\frac{3}{5}$．f（2B+π）=2sin（B+π）=-2sinB=-$\frac{24}{13}$，可得：sinB=$\frac{12}{13}$，
∵角A，B，C都是锐角，可求得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{5}{13}$，
∴f（2C）=2sin（C+$\frac{π}{2}$）=2cosC=-2cos（A+B）=2sinAsinB-2cosAcosB=2×$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$-2×$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{66}{65}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．