Question

6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|+|x-2a|-3|a|）．若集合{x|f（x-1）-f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为$（-∞，\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．

解答 解：若{x|f（x-1）-f（x）＞0，x∈R}=∅，
则等价为f（x-1）-f（x）≤0恒成立，即f（x-1）≤f（x）恒成立，
当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|+|x-2a|-3|a|）．
若a≤0，则当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-a+x-2a+3a）=x，
∵f（x）是奇函数，
∴若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x=-f（x），
则f（x）=x，x＜0，
综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）≤f（x）恒成立，
若a＞0，
若0≤x≤a时，f（x）=$\frac{1}{2}$[-x+a-（x-2a）-3a]=-x；
当a＜x≤2a时，f（x）=$\frac{1}{2}$[x-a-（x-2a）-3a]=-a；
当x＞2a时，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-a+x-2a-3a）=x-3a．
即当x≥0时，函数的最小值为-a，
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f（x）的最大值为a，
作出函数的图象如图：
由于?x∈R，f（x-1）≤f（x），
故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，
结合图可得1-3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤$\frac{1}{6}$，
综上a≤$\frac{1}{6}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{6}$]

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．