Question

4．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，$\frac{a}{b}$∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．求证：
（1）数域必含有0与1两个数；
（2）数域必为无限集；
（3）数集A={x|x=a+b•$\sqrt{2}$，a，b∈Q}是数域．

Answer 1

分析 ①根据特例a-a=0，$\frac{a}{a}$=1，可得证；
②特例一定有1+1=2，1+2=3，推下去必然包含整数集，故得证；
③根据数域的定义证明对加，减，乘，除封闭即可．

解答 证明：①数集P有两个元素a，b，则一定有a-a=0，$\frac{a}{a}$=1，故数域必含有0与1两个数，故（1）得证；
（2）数域有1，一定有1+1=2，1+2=3，推下去必然包含整数集，因而为无限集，（2）得证；
（3）当b=0是，数集A=Q，当b≠0时，数集A表示所有含$\sqrt{2}$的同类二次根式，可知，从A中任取m，n，都有其和，差，积，商仍然在集合A中，根据定义可得数集A为数域即复数集．

点评 对新型定义的考查，应紧扣定义，从定义入手．