Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=

3

4

．
（1）求cosC，cosB的值；
（2）若S_△ABC=

15

4

7

，求边AC的长．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由C=2A，利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosA的值代入求出cosC的值，确定出sinC与sinA的值，利用诱导公式求出cosB的值即可；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB的值代入求出ac=24，利用正弦定理得到a与c的关系式，联立求出a与c的值，再利用余弦定理求出b的值，即为AC的长．

解答： 解：（1）∵C=2A，cosA=

3

4

，
∴cosC=2cos²A-1=

1

8

，
∴sinC=

3 7

8

，sinA=

7

4

，
则cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=

9

16

；
（2）∵S_△ABC=

15 7

4

，sinB=

5 7

16

，
∴

1

2

acsinB=

27

2

，即ac=24①，
又由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

3

2

a②，
联立①②，解得：a=4，c=6，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=25，
解得：b=5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．