Question

5．已知O（0，0），A（0，3），M为平面内的点．
（1）如果直线x-y+a=0上总存在点M使得MA=2MO，求实数a的取值范围；
（2）已知C（0，-1），MA=2MO，若P（x，y）是直线x-y-4=0上的点，且满足∠MPC=30°，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出M的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，求实数a的取值范围；
（2）由x²+（y+1）²=4，可得C是圆心，M是圆上的点，则∠MPC以PM为切线时最大，在直角三角形PCM中，直角边CM=2是定值，因此当PM为切线时，且∠MPC=30°时P点的位置（左右两个点）为边界位置，其它符合题意的点都介于这两个点之间，据此求解．

解答 解：（1）设M（x，y），
∵MA=2MO，
∴x²+（y-3）²=4（x²+y²），
∴x²+y²+2y-3=0，
∴x²+（y+1）²=4，
∵直线x-y+a=0上总存在点M使得MA=2MO，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|1+a|}{\sqrt{2}}$≤2，
∴-1-2$\sqrt{2}$≤a≤-1+2$\sqrt{2}$；
（2）由x²+（y+1）²=4，可得C是圆心，M是圆上的点，则∠MPC以PM为切线时最大，在直角三角形PCM中，直角边CM=2是定值，因此当PM为切线时，且∠MPC=30°时P点的位置（左右两个点）为边界位置，其它符合题意的点都介于这两个点之间．
此时，在三角形PCM中，因为∠MPC=30°，且CM=2，所以CP=4，
设P（x₀，x₀-4），所以CP=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-3）^{2}}$=4，
解得x₀=$\frac{3-\sqrt{23}}{2}$或x₀=$\frac{3+\sqrt{23}}{2}$．
故x₀的范围是[$\frac{3-\sqrt{23}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{23}}{2}$]．

点评 本题考查了圆的方程、几何性质，通过分析先将问题转化为圆的切线问题，最终化成点到直线的距离问题．