Question

【题目】已知

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点和，求证：b<2a

Answer 1

【答案】（1）（，1）是减区间，（0，）和（1，+∞）是增区间；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）将代入函数式，通过函数导数的正负得到函数的增减区间；（2）由题意可知是方程的根，依据根的分布规律可得的不等式，从而得到

试题解析：（1）f‘（x）=2x-3+=（x＞0）， 2分

由f'（x）=0得x=或x=1，．∴当x＞1或0＜x＜时，f'（x）＞0，

当＜x＜1时f'（x）＜0， 4分

∴（，1）是函数f（x）的减区间，（0，）和（1，+∞）是f（x）的增区间；．．5分

（2）∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f（x）=0在（0，+∞）有两个不同的解x1，x2，

．∵f（x）=ax+（b-1）+=， 6分

∴x1，x2是ax2+（b-1）x+1=0在（0，+∞）内的两个不同解，

设h（x）=ax2+（b-1）x+1，则该函数有两个零点x1，x2，

∵0＜x1＜2＜x2＜4，∴即， 9分

∴-4a＜b＜-2a，即-4a＜-2a得a＞， 11分

∴b＜-2a＜4a-2a=2a，∴b＜2a得证；． 12分