Question

（本小题满分12分）
已知定义在R上的函数的图像关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)当x∈[-1，1]时，图像上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论．

Answer 1

解：(Ⅰ) 因为函数的图像关于原点对称，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以恒成立，故，…………………3分
故，
又时，取极小值，所以，且，
所以………………①
……………………②
解得：，；
所以，（）…………………………………………………6分
（Ⅱ）当时，图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.
证明如下：（方法1，用反证法）
①假设在的图像上存在两点，，使得在此两点处的切线互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在两点处的切线斜率均存在.
由假设则有，…………………………8分
从而，
另一方面，，所以，所以，
与前式显然矛盾.所以，
当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分
（方法2）
设，为的图像上两点，由(Ⅰ) 可知，
且在点和点处的两条切线的斜率均存在.
不妨设在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，
则，；………………8分
所以 ，
由题意，，
所以，即
综上所述，当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.……12分

略