Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得，c=

2

，a=

3

，则b²=a²-c²=1，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；
（2）讨论当P在直线x=±

3

上时，显然不垂直；当P不在直线x=±

3

上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于k的方程，求出两根之积，判断是否为-1，即可判断
l₁，l₂垂直．

解答： 解：（1）由题意可得，c=

2

，

b2+c2

=a=

3

，
则b²=a²-c²=1，
则椭圆C的方程为

x2

3

+y²=1．
其“准圆”方程为x²+y²=4．
（2）①设P（±

3

，±1），则过P的直线l₁：x=±

3

，
则l₂的斜率k≠0，即它们不垂直；
②设P（m，n）（m≠±

3

），m²+n²=4，过P的直线为y-n=k（x-m），
联立椭圆方程，消去y，得到
（1+3k²）x²+6k（n-km）x+3（n-km）²-3=0，
由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，
即36k²（n-km）²-4（1+3k²）•3[（n-km）²-1]=0，
化简得，（3-m²）k²+2kmn+1-n²=0，
k₁k₂=

1-n2

3-m2

=

1-(4-m2)

3-m2

=-1．
即l₁，l₂垂直．
综上，当P在直线x=±

3

上时，l₁，l₂不垂直；
当P不在直线x=±

3

上时，l₁，l₂垂直．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两直线的位置关系，直线和椭圆的位置关系，方法是联立直线和圆椭圆方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解．此题属中档题．