Question

设函f（x）=xe^kx（k≠0）
（1）求曲y=f（x）在（0，f（0））出的切线方程．
（2）求函f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；

解答： 解：（1）f′（x）=（1+kx）e^kx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（2）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得x=-

1

k

（k≠0），
①若k＞0，则当x∈（-∞，-

1

k

）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-

1

k

，+∞）时，f′（x）＞0，
函数f（x）单调递增，
②若k＜0，则当x∈（-∞，-

1

k

）时，
f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-

1

k

，+∞）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
综上可知，当k＞0时，函数f（x）单调递增区间为（-

1

k

，+∞），函数f（x）单调递减区间为（-∞，-

1

k

）；
当k＜0时，函数f（x）单调递增区间为（-∞，-

1

k

），函数f（x）单调递减区间为（-

1

k

，+∞）．

点评：本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．