Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左右焦F₁，F₂，若椭圆C上恰有4个不同的点P，使得△PF₁F₂为等腰三角形，则C的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．

解答： 解：由题意，△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形，
以F₂P作为等腰三角形的底边为例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴点P在以F₁为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F₁为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，
此时a-c＜2c且a＜2c，解得离心率e＞

1

2

同理，当F₁P为等腰三角形的底边时，在e＞

1

2

时也存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P
这样，总共有4个不同的点P使得△F₁F₂P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：e∈（

1

2

，1）．
故答案为：（

1

2

，1）．

点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有4个不同点P使得△F₁F₂P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．