Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.

Answer 1

【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c.

   由已知，2a＝12，所以a＝6.   又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.   

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.             

   因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.  

（Ⅱ）法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F₂(2，0).

过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|＝|MH|－4.

   设点M(x，y)，则. 

两边平方，得，即y²＝8x.    故点M的轨迹方程是y²＝8x.                                            

   法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F₁到直线l的距离为4. 

由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F₂(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.         

显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F₁F₂|＝4，故点M的轨迹方程是y²＝8x