Question

4．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是$\frac{π}{3}$，则圆锥的体积是$\frac{25\sqrt{3}π}{7}$．

Answer 1

分析 设出圆锥的底面圆半径r，母线长l，高h，根据题意求出r²、h即可求出圆锥的体积．

解答 解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，则
圆锥的表面积是πr²+πrl=15π①，
侧面展开图的圆心角是$\frac{2πr}{l}$=$\frac{π}{3}$②，
解得r²=$\frac{15}{7}$，l²=$\frac{540}{7}$，
所以高h=$\sqrt{{l}^{2}{-r}^{2}}$=5$\sqrt{3}$；
所以圆锥的体积是：
V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}$•π•$\frac{15}{7}$•5$\sqrt{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{7}$π．
故答案为：$\frac{25\sqrt{3}π}{7}$．

点评 本题考查了圆锥的表面积、侧面展开图的圆心角以及圆锥体积的计算问题，是基础题目．