Question

2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AD=1，AB=2，且PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点建立坐标系，通过计算$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DP}=0$得出EF⊥CD，EF⊥DP，故而EF⊥平面PCD；
（2）求出平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$，则二面角C-PD-E的余弦值为cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞．

解答 证明：（I）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示：

则E（1，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），
∴F（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DP}$=0，
∴EF⊥CD，EF⊥DP，
又CD?平面PCD，DP?平面PCD，DP∩CD=D，
∴EF⊥平面PCD．
（II）$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
由（I）可知$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）为平面PCD的一个法向量，
设平面PDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角C-PD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系，空间角的计算与空间向量的应用，属于中档题．