Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F分别为A₁C₁，BC的中点．
（I）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁
（II）求证：C₁F∥平面ABE
（III）求直线CE和平面ABE所成角的正弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ABE⊥平面B₁BCC₁．
（II）求出平面ABE的法向量，利用向量法能证明C₁F∥平面ABE．
（Ⅲ）求出$\overrightarrow{CE}$和平面ABE的法向量，利用向量法能求出直线CE和平面ABE所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，
∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=AC=2，BC=1，E，F分别为A₁C₁，BC的中点，
∴A（0，$\sqrt{3}$，0），B（0，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，2），C₁（1，0，2），E（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
$\overrightarrow{BA}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
平面B₁BCC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁．
（II）F（$\frac{1}{2}$，0，0），C₁（1，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-2），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}$=2-2=0，
∵C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．
解：（Ⅲ）C（1，0，0），$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
设直线CE和平面ABE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+4}•\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求示，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．