Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知： ，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，

又=，因此b=2。故 椭圆的标准方程为           

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，

因此 双曲线的标准方程为                                  

（Ⅱ）设P（），

则=，。                                          

因为点P在双曲线上，所以。

因此，即                       

（III）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得

                                  所以，所以                     

                   

同理可得.                                       

则  ，

又  ，

所以  .

故恒成立.