Question

1．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，其导函数的图象经过（-1，0），（1，0），如图所示：
（1）求x₀的值；
（2）求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x₀的值；
（2）根据图象可得f'（-1）=0，f'（1）=0，f（-1）=-4，建立三个方程，联立方程组求解即可．

解答 解：（1）由图象可知，
在（-∞，-1）上f'（x）＜0，
在（-1，1）上f'（x）＞0，
在（1，+∞）上f'（x）＜0．
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上递减，在（-1，1）上递增．
因此f（x）在x=-1处取得极小值-4，所以x₀=-1．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（-1）=0，f'（1）=0，f（-1）=-4，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b+c=0}\\{3a+2b+c=0}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=0，c=6．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力，属于中档题．