Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．
（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+4kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2×2b}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+4kmx+4（m²-1）=0，
△=16（4k²-m²+1）＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，
∴-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
∵m≠0，∴k²=$\frac{1}{4}$，方向向量$\overrightarrow{d}$=（±2，1）．
∴直线l不定向．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．