Question

1．对于函数f（x），若存在常数s，t，使得取定义域内的每一个x的值，都有f（x）=-f（2s-x）+t，则称f（x）为“和谐函数”，给出下列函数 ①f（x）=$\frac{x}{x+1}$ ②f（x）=（x-1）² ③f（x）=x³+x²+1 ④f（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）•cosx，其中所有“和谐函数”的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 判断对于函数f（x）为“和谐函数”的主要标准是：若存在常数s，t，使函数f（x）的图象关于（s，t）对称，则称f（x）为“和谐函数”，由此逐一判断四个函数得答案．

解答 解：对于函数f（x），若存在常数s，t，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=-f（2s-x）+t，知，
函数f（x）的图象关于（s，t）对称，
对于①，f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，函数f（x）的图象关于（-1，1）对称，函数为“和谐函数”；
对于②，f（x）=（x-1）²，函数无对称数中心，函数不是“和谐函数”；
对于③，f（x）=x³+x²+1，函数f（x）关于（$-\frac{4}{3}$，$\frac{29}{27}$）中心对称图形，函数是“和谐函数”；
对于④，f（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）•cosx为奇函数，图象关于（0，0）对称，函数为“和谐函数”．
∴为“和谐函数”的是①③④．
故选：D．

点评 本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（s，t）对称，则称f（x）为“和谐函数”是关键，是中档题．