Question

（本题满分15分）已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；

（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）椭圆方程为；

（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即

由，得．

设点、的坐标分别为、，

则，，

所以==，

所以===0，故；

（Ⅲ）且．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知离心率为，可得等式；又因为椭圆方程过点可求得，

，进而求得椭圆的方程；

（Ⅱ）由直线与圆相切，可得与的等式关系即，然后联立直线与椭圆的方程并由韦达定理可得，，进而求出，所以由向量的数量积的定义可得的值为0，即结论得证；

（Ⅲ）由题意可分两种情况讨论：（ⅰ）当时，点、关于原点对称；（ⅱ）当时，点、不关于原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数的取值范围即可.

试题解析：（Ⅰ），

，将点代入，得，

所求椭圆方程为．

（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即

由，得．

设点、的坐标分别为、，

则，，

所以==，

所以===0，故，

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

由向量加法平行四边形法则得，，

（ⅰ）当时，点、关于原点对称，则

此时不构成平行四边形，不合题意．

（ⅱ）当时，点、不关于原点对称，则，

由，得 即

点在椭圆上，有，

化简，得．

，有． ①

又，

由，得． ②

将①、②两式，得 ，，则且．

综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数的取值范围是且．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.