选修4-1:几何证明选讲
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC⊥BD,且相交于点O ,E是AB边的中点,EO的延长线交CD于F.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)若∠ABD=30°,求证
(1)先证明△AOB≌△DOC, 从而得出∠ODC=∠OAB,进而可以证明结论;
(2)先证明△DOC∽△DFO,利用面积比等于相似比的平方比即可证明.
解析试题分析:(1)∵ △AOB为直角三角形,且E 为AB边的中点,
∴EO="EA=EB," ∴∠EAO=∠EOA, ∠EOB=∠EBO,
又△AOB≌△DOC, ∴∠ODC=∠OAB,
∠EOB=∠DOF(对顶角),∴∠ODC+∠DOF=90°
∴∠DFO=90°
∴EF⊥CD
(2)∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°,
∴在Rt△DOF中,DF=OD,△DOC∽△DFO,
所以根据面积比等于相似比的平方比,知
考点:本小题主要考查两条直线垂直、三角形相似等的证明.
点评:在利用相似三角形解答时,注意通过对应边找对应角,通过对应角找对应边,不要找错了。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.
(1)求证:BC⊥SA
(2)若S在底面ABC内的射影为O,证明:O为底面△ABC的中心;
(3)若二面角H—AB—C的平面角等于30°,SA=,求三棱锥S—ABC的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙O上两点,且∠CAB=45o,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).
(Ⅰ)求证:OF//平面ACD;
(Ⅱ)在上是否存在点,使得平面平面ACD?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.
(1)求异面直线AE与A1 F所成角的大小;
(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知ABCD是矩形,AD=2AB,E,F分别是线段AB,BC的中点,PA⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:DF⊥平面PAF;
(Ⅱ)在棱PA上找一点G,使EG∥平面PFD,当PA=AB=4时,求四面体E-GFD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
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