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已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

(Ⅰ)由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,得到PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ).(Ⅲ) .

解析试题分析:(Ⅰ)连结AC、BD,设.
由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
由(Ⅰ),QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),由题条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,1),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).
所以


于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由(Ⅱ),点D的坐标是(0,-,0),, 
,设是平面QAD的一个法向量,由

.
取x=1,得.
所以点P到平面QAD的距离.
考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系,距离及角的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。本题解法较多,特别是求角及距离时,运用了“向量法”,实现了问题的有效转化。对考生计算能力要求较高

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

选修4-1:几何证明选讲
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(本小题满分14分)
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平面分别是的中点.

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(2)若上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,
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(本小题满分10分)如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点.

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(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,且,中点.

(1)求证:平面
(2)求二面角的余弦值.

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(本小题满分12分)
在四棱柱中,底面是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=,AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面PBC⊥平面ABCD

(1)求证:AB⊥平面PBC
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(3)在棱PB上是否存在点M使CM∥平面PAD?
若存在,求的值。若不存在,请说明理由。

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(本小题满分12分)
如图,已知点B在以AC为直径的圆上,SA⊥面ABCAESBEAFSCF.

(I)证明:SCEF
(II)若求三棱锥SAEF的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在三棱锥中,,,中点,中点,且为正三角形.

(1)求证:平面.
(2)求证:平面⊥平面.

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