精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.

(1)求证:BC⊥SA
(2)若S在底面ABC内的射影为O,证明:O为底面△ABC的中心;
(3)若二面角H—AB—C的平面角等于30°,SA=,求三棱锥S—ABC的体积.

(1)先证明 (2) 先证O为底面△ABC的垂心 (3)

解析试题分析:证明:(1) AH⊥面SBC,BC在面SBC内   ∴AH⊥BC
 

,同理,因此

 

 
O为底面△ABC的垂心,而三棱锥S—ABC的底面是正三角形,故O为底面△ABC的中心

 (3)由(1)有SA=SB=SC=,设CO交AB于F,则CF⊥AB, CF是EF在面ABC内的射影,

EF⊥AB,
∠EFC为二面角H—AB—C的平面角,∠EFC=30°,∠ECF=60°,
OC=,SO=3,AB=3,
  
考点:直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.
点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查三角形中心的证明,考查三棱锥体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,合理地化空间问题为平面问题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形, 中点.

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)求异面直线BS与AC所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,底面△为正三角形的直三棱柱中,的中点,点在平面内,

(Ⅰ)求证:;  
(Ⅱ)求证:∥平面
(Ⅲ)求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四边形均为菱形,,且.

(1)求证:
(2)求证:
(3)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱垂直底边ABCD四棱柱,
E是侧棱AA1的中点,求

(1)求异面直线与B1E所成角的大小;
(2)求四面体的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是直角梯形,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB。

求证:CE⊥平面PAD;
(11)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成直二面角,如图二,在二面角中.

(1)求证:BD⊥AC;
(2)求D、C之间的距离;
(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

选修4-1:几何证明选讲
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC⊥BD,且相交于点O ,E是AB边的中点,EO的延长线交CD于F.

(1)求证:EF⊥CD;
(2)若∠ABD=30°,求证

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
如图4,在三棱柱中,△是边长为的等边三角形,
平面分别是的中点.

(1)求证:∥平面
(2)若上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,
求平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案