Question

4．已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．
（1）若函数y=f（x）与y=x³的图象有公共点，且在它们的某一处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数h（x）=（x²-3kx-3）•f（x）在区间（k，$\frac{1}{k}$）内单调递减，求此时k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设切点坐标，再代入两个解析式建立方程①，再由在切点处导数值相等列出方程②，联立方程求解；
（2）由题意求出h（x）解析式，再求出此函数的导数，根据区间关系求出k的范围，再对k分类：k＜-1时和0＜k＜1时，再由条件和导数与函数单调性关系，分别列出等价条件，求出k的范围，最后并在一起．

解答 解：（1）设曲线y=f（x）与y=x³有共同切线的公共点为P（x₀，y₀），
则${e}^{k{x}_{0}}$=x₀³ ①，
又∵y=f（x）与y=x³在点P（x₀，y₀）处有共同切线，
且f′（x）=ke^kx，（x³）′=3x²，
∴k${e}^{k{x}_{0}}$=3x₀²②，
由①②解得，k=$\frac{3}{e}$．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²-3kx-3）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-3k²）x-6k]e^kx
=k[x²+（$\frac{2}{k}$-3k）x-6]e^kx=k（x-3k）（x+$\frac{2}{k}$）e^kx．              
又由区间（k，$\frac{1}{k}$）知，$\frac{1}{k}$＞k，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①当0＜k＜1时，
由（h（x））'=k（x-3k）（x+$\frac{2}{k}$）e^kx＜0，
得-$\frac{2}{k}$＜x＜3k，
即函数h（x）的单调减区间为（-$\frac{2}{k}$，3k），
要使h（x）=f（x）（x²-3kx-3）在区间（k，$\frac{1}{k}$）内单调递减，
则有$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜1}\\{k≥-\frac{2}{k}}\\{\frac{1}{k}≤3k}\end{array}\right.$，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k＜1．                                 
②当k＜-1时，
由（h（x））'=k（x-3k）（x+$\frac{2}{k}$）e^kx＜0，
得x＜3k或x＞-$\frac{2}{k}$，
即函数h（x）的单调减区间为（-∞，3k）和（-$\frac{2}{k}$，+∞），
要使h（x）=f（x）（x²-3kx-3）在区间（k，$\frac{1}{k}$）内单调递减，
则有 $\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{\frac{1}{k}≤3k}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{k≥-\frac{2}{k}}\end{array}\right.$，
这两个不等式组均无解．
综上，当$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k＜1时，
函数h（x）=f（x）（x²-3kx-3）在区间（k，$\frac{1}{k}$）内单调递减．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，查了分类讨论思想和转化思想．