Question

19．已知圆O：x²+y²=4与x轴交于点A和B，P（异于A，B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB与D，PE=$\frac{1}{3}$ED，直线PA与BE交于点C，点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．

Answer 1

分析 由题意，A（-2，0）、B（2，0），设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x₀，$\frac{3}{4}$y₀），x₀²+y₀²=4，利用斜率关系，相乘得点C的轨迹曲线E的方程．

解答 解：由题意，A（-2，0）、B（2，0），
设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x₀，$\frac{3}{4}$y₀），x₀²+y₀²=4，
直线PA与BE交于C，故x≠±2，
所以$\frac{y}{x+2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，①且$\frac{y}{x-2}=\frac{\frac{3}{4}{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，②
①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查交轨法的运用，考查学生的计算能力，比较基础．