Question

10．圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，-4），B（0，-2）
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：kx-y+k=0与圆C相切，求实数k的值；
（3）求圆C关于l₁：y=2x+1对称的圆．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．
（2）由圆心（2，-3）到直线l的距离d，满足d²=r²，求解
（3）求出圆心C关于关于l₁：y=2x+1对称的点为M（a，b）即为所求圆圆心，半径不变

解答 解：（1）∵圆C与y轴交于A（0，-4），B（0，-2），
∴由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上．
又∵已知圆心在直线2x-y-7=0上，∴联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-3}\\{2x-y-7=0}\end{array}\right.$，解得x=2，
∴圆心C为（2，-3），
∴半径r=|AC|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-4+3）^{2}}=\sqrt{5}$．
∴所求圆C的方程为（x-2）²+（y+3）²=5．
（2）若直线l：kx-y+k=0与圆C相切，则圆心（2，-3）到直线l的距离d，满足d²=r²，
即$\frac{（3+3k）^{2}}{1+{k}^{2}}=5$，即k=$\frac{-9±\sqrt{65}}{4}$；
（3）设圆心C关于关于l₁：y=2x+1对称的点为M（a，b）
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{2}=2×\frac{a+2}{2}+1}\\{\frac{b+3}{a-2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{22}{5}}\\{b=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴圆C关于l₁：y=2x+1对称的圆方程为：（x+$\frac{22}{5}$）²+（y-$\frac{1}{5}$）²=5

点评 本题考查了圆的方程、直线与相切的判定、圆的对称性问题，属于中档题．